lunes, 8 de octubre de 2012

U.D 1. EL CIRCULO GONIOMÉTRICO

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas, de un plano euclídeo.

File:Circle-trig6.svg

Dibujando el círculo de radio 1( la unidad) podemos medir a escala los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares
Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:
x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,

Razones trigonométricas en la circunferencia unidad
La circunferencia unidad y el triángulo rectángulo asociado.
 

c=1 radio unidad

 
Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo  \alpha \, con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como valores de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:
El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
 \operatorname{sen}(\alpha)= \frac{a}{c}
y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:
 \operatorname{sen}(\alpha)= a \,
El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
 \cos(\alpha)= \frac{b}{c}
y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:
 \cos(\alpha)= b \,
La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente
 \tan(\alpha)= \frac{a}{b}  


Por semejanza de triángulos: AE / AC = OA / OC
como OA = 1, se deduce que: AE = AC / OC
 \tan(\alpha)= \overline{AE} \,

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